Section: Research Program

L'algèbre max-plus/Max-plus algebra

Le semi-corps max-plus est l'ensemble $ℝ\cup \{-\infty \}$, muni de l'addition $(a,b)\mapsto a\oplus b=max(a,b)$ et de la multiplication $(a,b)\mapsto a\otimes b=a+b$. Cette structure algébrique diffère des structures de corps classiques par le fait que l'addition n'est pas une loi de groupe, mais est idempotente: $a\oplus a=a$. On rencontre parfois des variantes de cette structure: par exemple, le semi-corps min-plus est l'ensemble $ℝ\cup \{+\infty \}$ muni des lois $a\oplus b=min(a,b)$ et $a\otimes b=a+b$, et le semi-anneau tropical est l'ensemble $\mathbb{N}\cup \{+\infty \}$ munis des mêmes lois. L'on peut se poser la question de généraliser les constructions de l'algèbre et de l'analyse classique, qui reposent pour une bonne part sur des anneaux ou des corps tels que $\mathbb{Z}$ ou $ℝ$, au cas de semi-anneaux de type max-plus: tel est l'objet de ce qu'on appelle un peu familièrement “l'algèbre max-plus”.

Il est impossible ici de donner une vue complète du domaine. Nous nous bornerons à indiquer quelques références bibliographiques. L'intérêt pour les structures de type max-plus est contemporain de la naissance de la théorie des treillis  [100] . Depuis, les structures de type max-plus ont été développées indépendamment par plusieurs écoles, en relation avec plusieurs domaines. Les motivations venant de la Recherche Opérationnelle (programmation dynamique, problèmes de plus court chemin, problèmes d'ordonnancement, optimisation discrète) ont été centrales dans le développement du domaine  [92] , [122] , [173] , [177] , [178] . Les semi-anneaux de type max-plus sont bien sûr reliés aux algèbres de Boole  [79] . L'algèbre max-plus apparaît de manière naturelle en contrôle optimal et dans la théorie des équations aux dérivées partielles d'Hamilton-Jacobi  [162] , [160] , [145] , [129] , [118] , [165] , [139] , [119] , [103] , [62] . Elle apparaît aussi en analyse asymptotique (asymptotiques de type WKB  [144] , [145] , [129] , grandes déviations  [159] , asymptotiques à température nulle en physique statistique  [81] ), puisque l'algèbre max-plus apparaît comme limite de l'algèbre usuelle. La théorie des opérateurs linéaires max-plus peut être vue comme faisant partie de la théorie des opérateurs de Perron-Frobenius non-linéaires, ou de la théorie des applications contractantes ou monotones sur les cônes  [130] , [150] , [142] , [68] , laquelle a de nombreuse motivations, telles l'économie mathématique  [147] , et la théorie des jeux  [163] , [52] . Dans la communauté des systèmes à événements discrets, l'algèbre max-plus a été beaucoup étudiée parce qu'elle permet de représenter de manière linéaire les phénomènes de synchronisation, lesquels déterminent le comportement temporel de systèmes de production ou de réseaux, voir [6] . Parmi les développements récents du domaine, on peut citer le calcul des réseaux  [80] , [134] , qui permet de calculer des bornes pire des cas de certaines mesures de qualité de service. En informatique théorique, l'algèbre max-plus (ou plutôt le semi-anneau tropical) a joué un rôle décisif dans la résolution de problèmes de décision en théorie des automates  [168] , [125] , [169] , [131] , [152] . Notons finalement, pour information, que l'algèbre max-plus est apparue récemment en géométrie algébrique  [117] , [172] , [146] , [171] et en théorie des représentations  [105] , [71] , sous les noms de géométrie et combinatoire tropicales.

Nous décrivons maintenant de manière plus détaillée les sujets qui relèvent directement des intérêts du projet, comme la commande optimale, les asymptotiques, et les systèmes à événements discrets.

English version

The max-plus semifield is the set $ℝ\cup \{-\infty \}$, equipped with the addition $(a,b)\mapsto a\oplus b=max(a,b)$ and the multiplication $(a,b)\mapsto a\otimes b=a+b$. This algebraic structure differs from classical structures, like fields, in that addition is idempotent: $a\oplus a=a$. Several variants have appeared in the literature: for instance, the min-plus semifield is the set $ℝ\cup \{+\infty \}$ equipped with the laws $a\oplus b=min(a,b)$ and $a\otimes b=a+b$, and the tropical semiring is the set $\mathbb{N}\cup \{+\infty \}$ equipped with the same laws. One can ask the question of extending to max-plus type structures the classical constructions and results of algebra and analysis: this is what is often called in a wide sense “max-plus algebra” or “tropical algebra”.

It is impossible to give in this short space a fair view of the field. Let us, however, give a few references. The interest in max-plus type structures is contemporaneous with the early developments of lattice theory  [100] . Since that time, max-plus structures have been developed independently by several schools, in relation with several fields. Motivations from Operations Research (dynamic programming, shortest path problems, scheduling problems, discrete optimisation) were central in the development of the field  [92] , [122] , [173] , [177] , [178] . Of course, max-plus type semirings are related to Boolean algebras  [79] . Max-plus algebras arises naturally in optimal control and in the theory of Hamilton-Jacobi partial differential equations  [162] , [160] , [145] , [129] , [118] , [165] , [139] , [119] , [103] , [62] . It arises in asymptotic analysis (WKB asymptotics  [144] , [145] , [129] , large deviation asymptotics  [159] , or zero temperature asymptotics in statistical physics  [81] ), since max-plus algebra appears as a limit of the usual algebra. The theory of max-plus linear operators may be thought of as a part of the non-linear Perron-Frobenius theory, or of the theory of nonexpansive or monotone operators on cones  [130] , [150] , [142] , [68] , a theory with numerous motivations, including mathematical economy  [147] and game theory  [163] , [52] . In the discrete event systems community, max-plus algebra has been much studied since it allows one to represent linearly the synchronisation phenomena which determine the time behaviour of manufacturing systems and networks, see [6] . Recent developments include the network calculus of  [80] , [134] which allows one to compute worst case bounds for certain measures of quality of service. In theoretical computer science, max-plus algebra (or rather, the tropical semiring) played a key role in the solution of decision problems in automata theory  [168] , [125] , [169] , [131] , [152] . We finally note for information that max-plus algebra has recently arisen in algebraic geometry  [117] , [172] , [146] , [171] and in representation theory  [105] , [71] , under the names of tropical geometry and combinatorics.

We now describe in more details some parts of the subject directly related to our interests, like optimal control, asymptotics, and discrete event systems.